Potęgowanie - kompendium
Potęgowanie liczb.
W wyrażeniu $a^n$ liczba $a$ to podstawa potęgi, a $n$ to wykładnik potęgi.
$a^2=a\cdot a$ - czytamy: a do potęgi drugiej lub a do kwadratu,
$a^3=a\cdot a\cdot a$ - czytamy: a do potęgi trzeciej lub a do sześcianu,
$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{ czynników} a}$ - czytamy a do potęgi n-tej.
Jedynka oraz zero podczas potęgowania zachowują się w szczególny sposób.
Wyrażenia poniższe są niezmiernie proste oraz bardzo często potrzebne.
$a=a^1$ - zamiast $a$ zawsze można zapisać $a^1$,
$1^n=1$ - iloczyn (mnożenie) dowolnej liczny jedynek to liczba jeden,
$0^n=0$ (dla $n\ne 0$) - iloczyn (mnożenie) dowolnej liczby zer to zero,
$a^0=1$ (dla $a\ne 0$) - zerowa potęga dowolnej liczby różnej od zera to jeden.
Wyrażenie $0^0$ nie ma określonej wartości.
Wyrażenia takie jak $0^2$ oraz $2^0$ mają sens - rozwiązanie. Są to odpowiednio liczby $0^2=0$ oraz $2^0=1$. Natomiast wyrażenie $0^0$ nie jest ani $0$ ani $1$, ani żadna inna konkretna liczba. Wynik jest nieoznaczony.
Wynik potęgowania liczby ujemnej może być albo ujemny albo dodatni.
Jeśli liczbę dodatnią podniesiemy do dowolnej potęgi wynik jaki otrzymamy będzie liczbą dodatnią. Natomiast jeśli liczbę ujemną podniesiemy do dowolnej potęgi, to wynik jaki otrzymamy może być liczbą ujemną lub dodatnią, zależną od wykładnika.
Przykładowo:
$(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$
$(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$
$(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$
$(-2)^5=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-32$
Ja widać znak wyniku potęgowania zależy od wykładnika - czy jest parzysty, czy nieparzysty.
Więc:
$(-a)^n=a^n$ dla $n$ parzystego,
$(-a)^n=-(a^n)$ dla $n$ nieparzystego.
Ujemny wynik potęgi oznacza, że trzeba rozważyć odwrotność.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ dla $a\ne 0$
Przykłady:
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
$(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=\frac{1}{(-3)(-3)(-3)}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}$
$y^{-1}=\frac{1}{y}$
$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$
Potęgi dziesiątki.
Potęgi dziesiątki to podstawa zapisu bardzo dużych oraz bardzo małych liczb. Te liczby są niezbędne w fizyce, chemii, informatyce.
$10^0=1\\
10^1=10\\
10^2=100\\
10^3=1.000 \text{ (tysiąc)}\\
10^4=10.000\\
10^5=100.000\\
10^6=1.000.000 \text{ (milion)}\\
10^7=10.000.000\\
10^8=100.000.000\\
10^9=1.000.000.000 \text{ (miliard)}\\
10^{12}=1.000.000.000.000 \text{ (bilion)}$
$10^{-1}=0,1\\
10^{-2}=0,01\\
10^{-3}=0,001 \text{ (jedna tysięczna)}\\
10^{-4}=0,000.1\\
10^{-5}=0,000.01\\
10^{-6}=0,000.001 \text{ (jedna milionowa)}\\
10^{-7}=0,000.000.1\\
10^{-8}=0,000.000.01\\
10^{-9}=0,000.000.001 \text{ (jedna miliardowa)}\\
10^{-12}=0,000.000.000.001 \text{ (jedna bilionowa)}$
Potęgi liczby dwa.
Potęgi liczby dwa są używane szczególnie w informatyce.
$2^0=1\\
2^1=2\\
2^2=4\\
2^3=8\\
2^4=16\\
2^5=32\\
2^6=64\\
2^7=128\\
2^8=256\\
2^9=512\\
2^{10}=1.024\\
2^{11}=2.048\\
2^{12}=4.096\\
2^{13}=8.192\\
2^{14}=16.384\\
2^{15}=32.768\\
2^{16}=65.536$
Działania na potęgach.
Działania na potęgach są niezmiernie łatwe. Trzeba tylko pamiętać, które wzory wymagają jednakowej podstawy potęgi, a które ze wzorów wymagają jednakowego wykładnika.
Mnożenie potęg o jednakowych podstawach.
Mnożąc potęgi o jednakowych podstawach, dodajemy wykładniki.
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
Przykłady:
$5^3\cdot 5^6=5^{3+6}=5^9\\
10^2\cdot 10^5=10^{2+5}=10^7\\
2^{-12}\cdot 2^6=2^{-12+6}=2^{-6}$
Dzielenie potęg o jednakowych podstawach.
Dzieląc potęgi o jednakowych podstawach, odejmujemy wykładniki.
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
Przykłady:
$\frac{5^3}{5^6}=5^{3-6}=5^{-3}\\
\frac{10^2}{10^5}=10^{2-5}=10^{-3}\\
\frac{2^{-12}}{2^6}=2^{-12-6}=2^{-18}$